文章の書き方「４種類の括弧の使い方」

かぎ括弧：「」　二重括弧：『』　隅付き括弧：【】　丸括弧：（）　クオーテーションマーク：””

例）　太郎は「ごめん！」と頭を下げた。　←このように地の文でも使われます。
例）　「総務部」と「財務部」の両方に報告が必要です　←複数の対象物を区別してわかりやすくする
例）　「かっこを使うとき」は気をつけなければなりません　←短い文の強調

「あいつはいつも言うんだ『お前には無理だ』って」
会話の中に第三者のセリフが入る例です。二重括弧の使用用途で 1 番多いと思います。

「あなたの名前は『太郎』だよね？」
その男の名前は『太郎』と公表されているが、それ以外の情報はまったくない。
このように強調する目的で使われることもあります。

また、普通の会話と区別するために、電話などの会話では二重括弧を使う方もいます。

「だから、結局【秘密を知ってるクラスメイト】くんにしか頼めないのよ」

強調目的で使う二重括弧と同じ用途。どちらを使うかは好みの問題ですが、一般的には二重括弧が多いと思われます。

太郎は青春を謳歌している。
（それに比べて、わたしは…）

口には出していない心の声や独り言のような呟きに使います。他には補足説明などで。